Để giải bài toán này, ta cần vẽ hình chữ nhật ABCD như sau:

\[
\begin{array}{c}
A---------------------------------------------B \\
|--------------------------------------------------| \\
|--------------------------------------------------| \\
|--------------------------------------------------| \\
|--------------------------------------------------| \\
|--------------------------------------------------| \\
|--------------------------------------------------| \\
|--------------------------------------------------| \\
|--------------------------------------------------| \\
D---------------------------------------------C
\end{array}
\]

A) Ta có AB = 12cm và BC = 9cm. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
\[AC^2 = 12^2 + 9^2\]
\[AC^2 = 144 + 81\]
\[AC^2 = 225\]
\[AC = 15cm\]

Vậy độ dài đường chéo AC là 15cm.

B) Ta có BH vuông góc với AC, nên ta có:

\[BH^2 = HA \times HC\]

C) Gọi K là giao điểm của tia BH và DC. Ta cần chứng minh rằng:

\[AH \times AC = BH \times BK = 4BO^2\]

Để chứng minh điều này, ta cần sử dụng các định lý trong hình học, như định lý Euclid và định lý hình học cơ bản.

Hy vọng bài giải trên sẽ giúp bạn hiểu và giải quyết bài toán. Nếu cần thêm giải thích hoặc hỗ trợ, vui lòng cho biết. Cảm ơn bạn đã đọc!