Cho hàm số y= sinx + cos2x + 3 có đồ thị (C) pt f'(x) =0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc khoảng từ [0;2]

Để tìm số nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn [0;2], ta cần tính đạo hàm của hàm số y = sinx + cos2x + 3:
f'(x) = cosx - 2sin2x = cosx - 2(2sinxcosx) = cosx - 4sinxcosx = cosx - 2cos2x.

Để tìm nghiệm của phương trình f'(x) = 0, ta giải phương trình:
cosx - 2cos2x = 0
cosx(1 - 2cosx) = 0
cosx = 0 hoặc cosx = 1/2.

Với cosx = 0, ta có x = π/2 hoặc x = 3π/2 không thuộc đoạn [0;2].
Với cosx = 1/2, ta có x = π/3 hoặc x = 5π/3 thuộc đoạn [0;2].

Vậy phương trình f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt trên đoạn [0;2].

Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(0;4), ta cần tính đạo hàm của hàm số y = sinx + cos2x + 3 tại điểm M:
f'(0) = cos0 - 2cos2(0) = 1 - 2 = -1.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M có dạng:
y - 4 = -1(x - 0)
y = -x + 4.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(0;4) là y = -x + 4.