a) Ta có M là trung điểm của AB nên BM = MA, N là trung điểm của AC nên CN = NA. Do đó, BM = MA = CN.

Gọi H là trung điểm của BC, ta có BH = HC.

Vậy ta có BD = DE = EC = BH = HC.

Khi đó, ta có tam giác BHD và tam giác EHC đều cân tại H.

Do đó, ta có BD = DH và EC = EH.

Ta có ME song song với BC và ND song song với BC nên ta có ME // ND.

Gọi I là giao điểm của ME và ND.

Khi đó, ta có IM = ME/2 và IN = ND/2.

Ta có ID = IM + IN = ME/2 + ND/2 = (ME + ND)/2 = MN/2 = BC/2 = BH = HC.

Vậy ta có tam giác IDE cân tại I.

b) Ta có AI song song với MN (do M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC) và AI cắt MN tại I (do I là giao điểm của ME và ND).

Vậy ta có AI // MN.

Gọi K là giao điểm của AI và BC.

Ta có AI // BC (do AI // MN và MN // BC) nên ta có AK/KB = AI/ID = AN/ND = AC/BC.

Do đó, ta có AK = AC.

Vậy ta có tam giác AKC cân tại K.

Vậy ta có AI ⊥ BC.

Như vậy, ta đã chứng minh được hai phần đề bài.