Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại P

a) Ta có ON là đường trung trực của BC vì N là trung điểm của cả hai dây BC và AM.

Gọi OB = x, CN = y. Ta có OB = ON = x, CN = ON = y (do ON là đường trung trực của BC).

Theo định lý nghịch đảo Pythagore, ta có:
1/OB^2 + 1/CN^2 = 1/16
⇔ 1/x^2 + 1/y^2 = 1/16
⇔ (x^2 + y^2)/(x^2*y^2) = 1/16
⇔ x^2 + y^2 = 16x^2*y^2
⇔ 1 = 16x^2*y^2 - x^2 - y^2 + 1
⇔ 1 = (4xy - 1)^2
⇔ 4xy - 1 = 1
⇔ 4xy = 2
⇔ xy = 1/2

Ta có BC = OB + CN = x + y. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
BC = x + y ≥ 2√(xy) = 2√(1/2) = √2

Vậy độ dài đoạn BC là √2.

b) Ta có BP và CP là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên theo định lí tiếp tuyến, ta có BP^2 = BN*BA và CP^2 = CN*CA.

Do đó, BP/AC = √(BN*BA)/√(CN*CA) = √(BN/CA * BA/CN) = √(BN/CN * BA/CA) = √(BP/CP) = BP/CP

Vậy BP/AC = CP/AB.