Cho ΔABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC ). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại P

a) Ta có ON là đường trung trực của BC vì N là trung điểm của cả hai tiếp tuyến BN và CN.

Gọi OB = x, CN = y. Ta có ON = \(\frac{x+y}{2}\).

Theo định lý nghịch đảo của đường tròn nội tiếp tam giác vuông, ta có: \(\frac{1}{OB^2} + \frac{1}{CN^2} = \frac{1}{ON^2}\).

Thay vào giả thiết ta được: \(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{1}{(\frac{x+y}{2})^2} = \frac{4}{(x+y)^2}\).

Từ giả thiết 1/OB^2+1/CN^2=1/16, ta có: \(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{1}{16}\).

Kết hợp hai phương trình trên ta được: \(\frac{4}{(x+y)^2} = \frac{1}{16}\).

Suy ra: x + y = 8.

Vậy độ dài đoạn BC là 8.

b) Ta có tam giác ABC đồng dạng với tam giác BPC (do cùng chứa góc).

Do đó, ta có: BP/AC = CP/AB.