Tìm vị trí của m trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất

Để tìm vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất, ta cần tìm cách tối đa hóa diện tích của hình chữ nhật đó.

Gọi x là độ dài của cạnh MN, y là độ dài của cạnh MP. Ta có diện tích của hình chữ nhật MNPQ là S = xy.

Ta có:
- MN = c - x
- MP = a - y

Do hình chữ nhật MNPQ nằm trong tam giác ABC, ta có các điều kiện sau:
1. x > 0, y > 0
2. x < c, y < a
3. x + y < a + c

Để tối đa hóa diện tích S = xy, ta sẽ tối đa hóa hàm S(x, y) = xy trong miền x > 0, y > 0, x < c, y < a, x + y < a + c.

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Đầu tiên, ta cần tìm hàm S(x, y) theo x hoặc y bằng cách thay y = a - x vào S = xy.

S(x) = x(a - x) = ax - x^2

Đạo hàm của S(x) theo x:
S'(x) = a - 2x

Để tìm giá trị cực đại của hàm S(x), ta giải phương trình S'(x) = 0:
a - 2x = 0
=> x = a/2

Vậy, để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất, ta cần chọn x = a/2. Điểm M nằm ở giữa cạnh AB với x = a/2.