a) Ta có BD = CE (đề bài) và tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, ta có AM = \(\frac{1}{2}BC\). Nhưng ta cũng có BD = CE nên ta có AM = \(\frac{1}{2}(BD + CE) = \frac{1}{2}DE\). Vậy tam giác ADE cân tại A.

b) Ta có tam giác ADE cân tại A (phần a). Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên ta có AM song song với DE. Khi đó, ta có \(\widehat{DAM} = \widehat{DAE}\) (cùng phụ) và \(\widehat{EAM} = \widehat{EAD}\) (cùng phụ). Vậy AM là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\).

c) Ta có \(\widehat{DBH} = 90^\circ\) (vì BH vuông góc với AD) và \(\widehat{ECK} = 90^\circ\) (vì CK vuông góc với AE). Từ phần a, ta có tam giác ADE cân tại A nên \(\widehat{DAE} = \widehat{DEA}\). Khi đó, ta có \(\widehat{DBH} = \widehat{DEA}\) và \(\widehat{ECK} = \widehat{DEA}\). Vậy \(\widehat{DBH} = \widehat{ECK}\).

d) Gọi N là giao điểm của HB và KC. Ta có \(\widehat{DBH} = \widehat{ECK}\) (phần c) và \(\widehat{DAE} = \widehat{DEA}\) (tam giác ADE cân tại A). Do đó, ta có \(\widehat{DAN} = \widehat{EAN}\). Như vậy, ba điểm A, M, N thẳng hàng.