Giải:

a, Ta có $\angle AHE = 90^\circ$ (do $HE \perp AD$) và $\angle ADE = 90^\circ$ (do $DE \perp AC$), nên tứ giác ADHE nội tiếp.

Gọi I là tâm của đường tròn nội tiếp tứ giác ADHE.

Do đó, ta có $\angle AIE = 90^\circ$ và $\angle ADE = 90^\circ$, nên A, I, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Vậy tâm I của đường tròn nội tiếp tứ giác ADHE chính là giao điểm của đường thẳng AD và DE.

b, Ta có $\angle KHD = \angle AHD = \angle AED = \angle FED = \angle FHD$, nên tứ giác KHDF nội tiếp.

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác KHDF, ta có:

$KH \cdot DF = KD \cdot HF + HD \cdot KF$

Do tứ giác ADHE nội tiếp nên $\angle AHD = \angle AED = \angle FHD$, nên $HD \cdot KF = HF \cdot DK$.

Do đó, $KH \cdot DF = KD \cdot HF + HF \cdot DK = DK \cdot HF$.

c, Ta có $\angle BKC = \angle BHD = 90^\circ - \angle AHD = 90^\circ - \angle AED = \angle CIE = \angle BIC$.

Vậy BK vuông góc với CI.

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần CMR.