Tam giác ABC vuông A có phân giác BM (M thuộc AC). Trên BC lấy D sao cho BD = BA. Gọi E là giao của DM và BA. Biết BM là trung trực AD

Để chứng minh a) và b), ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Định lí góc nội tiếp: Trong một đường tròn, một cặp góc nội tiếp bằng nhau khi và chỉ khi cặp cung tương ứng của chúng bằng nhau.

2. Định lí góc ngoại tiếp: Trong một đường tròn, một góc ngoại tiếp bằng góc nội tiếp tương ứng.

3. Định lí góc nhìn: Hai tia cắt nhau tạo ra các góc nhìn bằng nhau.

a) Ta có:
- BM là trung trực của AD, nên AM = MD.
- Vì BM là phân giác của góc ABC, nên AM = MC.
- Do BD = BA, nên góc BDA = góc BAD.
- Vì BM là trung trực của AD, nên góc BMD = góc AMD.
- Từ các điều trên, ta có tam giác BMD và tam giác AMD đồng dạng.
- Do đó, góc MBD = góc MAD.
- Vậy, ta có góc MBD = góc MAD = góc MHN (do góc MAD = góc MHN vì góc MAD và góc MHN là góc nội tiếp trên cùng một cung MH).
- Tương tự, ta có góc MBD = góc MAD = góc MKN.
- Vậy, góc MHN = góc MKN.
- Do BM là trung trực của AD, nên góc BMD = góc AMD = 90 độ.
- Vậy, ba điểm B, M, N thẳng hàng.

b) Ta có:
- Vì BM là trung trực của AD, nên AM = MD.
- Do BD = BA, nên góc BDA = góc BAD.
- Vì BM là phân giác của góc ABC, nên góc ABM = góc CBM.
- Từ các điều trên, ta có tam giác ABM và tam giác CBM đồng dạng.
- Do đó, góc AMB = góc CMB.
- Vậy, góc AMB = góc CMB = góc FCM (do góc AMB và góc FCM là góc ngoại tiếp).
- Tương tự, ta có góc FCM = góc AMB = góc CMB = góc MCF.
- Vậy, góc FCM = góc MCF.
- Áp dụng định lí góc nhìn, ta có góc FCA = góc MCA.
- Vậy, ta có góc FCA = góc MCA = góc FCM + góc MCF = 2góc FCM.
- Do đó, góc FCA = 2góc FCM.
- Từ đó, ta có góc FCA > góc FCM.
- Vậy, ta có AB + AM < CF + CM.

Như vậy, a) và b) đã được chứng minh.