Gọi vận tốc lúc đi của xe là \(v\) km/h.

Theo đề bài, ta có:
- Thời gian đi từ Hoa Bình đến Hà Nội với vận tốc \(40\) km/h là \(\frac{90}{40} = \frac{9}{4}\) h.
- Thời gian về từ Hà Nội về Hoa Bình với vận tốc \(45\) km/h là \(\frac{90}{45} = 2\) h.

Tổng thời gian đi và về là \(4\) h \(15\) phút = \(4 + \frac{15}{60} = \frac{19}{4}\) h.

Do đó, ta có phương trình:
\[\frac{9}{4} + 2 = \frac{19}{4}\]
\[2\frac{1}{4} = \frac{19}{4}\]
\[2v + \frac{90}{45} = \frac{90}{40}\]
\[2v + 2 = \frac{9}{4}\]
\[2v = \frac{9}{4} - 2\]
\[2v = \frac{9}{4} - \frac{8}{4}\]
\[2v = \frac{1}{4}\]
\[v = \frac{1}{8}\]

Vậy, vận tốc lúc đi của xe là \(v = \frac{1}{8}\) km/h.