Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(3, 2) lên đường thẳng ∆: 5x – 12y + 10 = 0, ta cần tìm điểm trên ∆ mà hình chiếu của nó xuống M là điểm M'.

Đầu tiên, ta cần tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆. Đường thẳng ∆ có phương trình chung là 5x – 12y + 10 = 0, nên vectơ pháp tuyến của ∆ chính là \(\vec{n} = (5, -12)\).

Tiếp theo, ta cần tìm điểm M' là hình chiếu vuông góc của điểm M lên ∆. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng công thức tính hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng:

\(M' = M + \frac{{\vec{OM} \cdot \vec{n}}}{{\|\vec{n}\|^2}} \cdot \vec{n}\)

Trong đó:
- \(\vec{OM}\) là vectơ từ gốc tọa độ O đến điểm M, tức là \(\vec{OM} = (3, 2)\).
- \(\vec{n}\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.
- \(\|\vec{n}\|^2\) là bình phương độ dài của vectơ pháp tuyến.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

\(M' = (3, 2) + \frac{{(3, 2) \cdot (5, -12)}}{{5^2 + (-12)^2}} \cdot (5, -12)\)

\(M' = (3, 2) + \frac \cdot (5, -12)\)

\(M' = (3, 2) + \frac \cdot (5, -12)\)

\(M' = (3, 2) + \frac{{-9}} \cdot (5, -12)\)

\(M' = (3, 2) - \frac, \frac\)

Vậy hình chiếu vuông góc của điểm M(3, 2) lên đường thẳng ∆: 5x – 12y + 10 = 0 là điểm M'(-\(\frac\), \(\frac\)).