Để chứng minh BM² = AM.CM, ta có:
- Ta có tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O nên theo định lý đường tròn nội tiếp, ta có: BM.BC = AB.BN và CM.CB = AC.CM
- Nhân hai vế của hai đẳng thức trên ta được: BM.CM.BC² = AB.BN.AC.CM
- Do AB > AC nên ta có: AB.BN = AM.CM
- Từ đó suy ra: BM.CM.BC² = AM.CM.AC.CM
- Đặt x = BM, y = CM, z = BC, ta có: x.y.z² = AM.y.AC.y
- Suy ra: x² = AM.CM (đpcm)

Để chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp, ta cần chứng minh góc BMC = góc BNC:
- Ta có: góc BMC = góc BAC (cùng nằm trên cùng một cung BC)
- Ta có: góc BNC = góc BAC (cùng nằm trên cùng một cung BN)
- Do đó: góc BMC = góc BNC
- Tứ giác BCMN nội tiếp (đpcm)