a) Ta có AD=AB và góc A là góc vuông nên tam giác ABC và tam giác ADC đều có góc vuông tại A và cạnh huyền chung AD nên tam giác ABC= tam giác ADC.

Gọi M là trung điểm của DC, ta có BM=MC=BC/2=AB/2=AM nên tam giác BDC cân tại M.

b) Ta có E là trung điểm của BC nên DE song song với AM. Gọi G là giao điểm của DE và CA, ta có AG cắt DE tại G nên theo định lí Menelaus ta có:

\( \frac{GC}{CA} \cdot \frac{AE}{EB} \cdot \frac{BD}{DG} = 1 \)

Vì AE=AB=BD nên ta có:

\( \frac{GC}{CA} = \frac{DG}{AE} = \frac{DG}{AB} = \frac{1}{2} \)

Do đó, G là trọng tâm của tam giác BDC và tỉ số GC/CA=1/2.

c) Ta có F là trung điểm của BE nên AF song song với BK. Gọi I là giao điểm của AF và KE, ta có AI cắt KE tại I nên theo định lí Menelaus ta có:

\( \frac{FI}{IA} \cdot \frac{AK}{KE} \cdot \frac{EB}{BF} = 1 \)

Vì AK=AF=FB nên ta có:

\( \frac{FI}{IA} = \frac{BF}{EB} = \frac{1}{2} \)

Do đó, tam giác FAB= tam giác FKE.

d) Ta có AF=FB=1/2BE=1/2DE nên AF=1/2DE.