Để so sánh S và 1/5, ta cần tính giá trị của S trước.

Ta có dãy số hình học có công bội là -1/3:

1/3, -2/3^2, 3/3^3, -4/3^4, ..., (-1)^(n+1) * n / 3^n, ...

Đặt S = 1/3 - 2/3^2 + 3/3^3 - 4/3^4 +....+ 99/3^99 - 100/3^100.

Nhân cả hai vế của phương trình trên với -1/3, ta được:

-S = -1/3 + 2/3^2 - 3/3^3 + 4/3^4 -....- 99/3^99 + 100/3^100.

Cộng hai phương trình trên lại, ta được:

S - S = 1/3 - 1/3^2 + 1/3^3 - 1/3^4 +....+ 1/3^99 - 1/3^100.

Suy ra:

S = (1/3 - 1/3^2 + 1/3^3 - 1/3^4 +....+ 1/3^99 - 1/3^100) / 2.

Ta có công thức tổng của dãy số hình học:

S = (a(1 - r^n)) / (1 - r),

trong đó a = 1/3, r = 1/3, n = 100.

Thay vào công thức trên, ta tính được giá trị của S.

S = (1/3(1 - (1/3)^100)) / (1 - 1/3) = (1/3(1 - 1/3^100)) / (2/3) = 1/2 - 1/2(1/3)^100.

Để so sánh S và 1/5, ta cần so sánh giá trị của S và 1/5:

1/2 - 1/2(1/3)^100 < 1/5.

Vậy, S < 1/5.