Để chứng minh UCLN(ab, a^n + b^n) = 1, ta sẽ sử dụng định lí Euclid.

Giả sử p là một số nguyên tố chia hết cho cả ab và a^n + b^n. Ta cần chứng minh p = 1.

Vì p chia hết cho ab, ta có p chia hết cho a hoặc p chia hết cho b. Nếu p chia hết cho a, ta có p không chia hết cho b vì UCLN(a, b) = 1. Tương tự, nếu p chia hết cho b, ta có p không chia hết cho a.

Do đó, p không chia hết cho cả a và b, từ đó suy ra p không chia hết cho ab.

Vì vậy, p không chia hết cho ab và a^n + b^n đồng thời, suy ra UCLN(ab, a^n + b^n) = 1.

Vậy ta đã chứng minh được UCLN(ab, a^n + b^n) = 1.