Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp. Chứng minh rằng tứ giác BMNC nội tiếp và PM.PN = PB.PC

1) Ta có AM ⊥ BC, HN ⊥ BC (do AM, HN là hình chiếu của H trên AB và AC). Do đó tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Tiếp theo, ta có ∠BMC = ∠BNC = 90° (do BM, CN là hình chiếu của H trên AB và AC). Vậy tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. Ta có IE song song với MN (do IE là đường trung bình của tam giác AHK).

2) Ta có ∠QAH = ∠QKH (cùng nằm trên cung AK), ∠QHA = ∠QKA (cùng nằm trên cung AQ của đường tròn (O)), nên tam giác QAH đồng dạng với tam giác QKA. Do đó, ta có ∠QAH = ∠QKA = 90°.

Vậy ba điểm Q, H, K thẳng hàng.

3) Ta có IE // MN // AH (do E là trung điểm của AH). Vậy độ dài đoạn thẳng IE không đổi.