Chứng minh tam giác CHM đồng dạng tam giác CAH. Chứng minh BC = 2CK.CA

a) Ta có:
$\angle CHM = \angle CAH$ (cùng nằm trên cùng một cạnh)
$\angle HCM = \angle HCA$ (do tam giác CHA cân tại A)
Vậy tam giác CHM đồng dạng tam giác CAH theo góc.

b) Ta có:
$\angle CBK = \angle CAH$ (cùng nằm trên cùng một cạnh)
$\angle BCK = \angle ACH$ (do tam giác ABC cân tại A)
Vậy tam giác BCK đồng dạng tam giác CAH theo góc.
Từ đó, ta có:
$\frac{BC}{CK} = \frac{CA}{CH}$
$\Rightarrow BC = 2CK \cdot CA$

c) Ta có:
$\angle AIH = \angle BCK$ (cùng nằm trên cùng một cạnh)
$\angle AIM = \angle BCM$ (do tam giác AIH đồng dạng tam giác BMC)
Vậy tam giác AIH đồng dạng tam giác BMC theo góc.
Do đó, ta có:
$\angle AIH + \angle AIM = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle AIM = 90^\circ$
Vậy AI vuông góc BM.