Để viết phương trình của đường thẳng (e) tạo với trục tung một góc bằng 30° và tiếp xúc với đồ thị của hàm số (P): y = 0.5x^2, ta cần tìm điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và đồ thị của hàm số.

Đạo hàm của hàm số (P) là y' = x. Để tìm điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và đồ thị của hàm số, ta cần giải hệ phương trình giữa đường thẳng và đồ thị của hàm số, cũng như giữa đường thẳng và đạo hàm của hàm số.

Đường thẳng (e) có phương trình y = mx + c, với m là hệ số góc của đường thẳng. Vì (e) tạo với trục tung một góc bằng 30°, nên m = tan(30°) = 1/√3.

Để tìm c, ta cần tìm điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và đồ thị của hàm số. Điểm tiếp xúc này sẽ có hoành độ x0 và tung độ y0 thỏa mãn hệ phương trình:
y0 = 0.5x0^2
y0 = mx0 + c
y' = x = m

Từ hệ phương trình trên, ta có:
x0 = m = 1/√3
y0 = 0.5(1/√3)^2 = 0.5/3 = 1/6

Vậy điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và đồ thị của hàm số là (1/√3, 1/6).

Phương trình của đường thẳng (e) là y = (1/√3)x + 1/6.