a) Do AD là tia phân giác của ∠BAC (gt)

⇒ ∠BAD = ∠CAD

Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (cmt)

∠BAD = ∠CAD (cmt)

AD là cạnh chung

⇒ ∆ABD = ∆ACD (c-g-c)

⇒ ∠ADB = ∠ADC (hai góc tương ứng)

Mà ∠ADB + ∠ADC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠ADB = ∠ADC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AD ⊥ BC

b) ∆ABC cân tại A (gt)

AD đường tia phân giác (gt)

⇒ AD cũng là đường trung tuyến

Lại có:

BM là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

BM cắt AD tại G (gt)

⇒ G là trọng tâm của ∆ABC

⇒ BG = 2GM

Do BM là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ M là trung điểm của AC

⇒ AM = CM

Do CN ⊥ BC (gt)

AD ⊥ BC (cmt)

⇒ CN // AD

⇒ ∠CNM = ∠AGM (so le trong)

Xét ∆CMN và ∆AMG có:

∠CNM = ∠AGM (cmt)

∠CMN = ∠AMG (đối đỉnh)

CM = AM (cmt)

⇒ ∆CMN = ∆AMG (g-c-g)

⇒ MN = MG (hai cạnh tương ứng)

⇒ GN = 2GM

Mà BG = 2GM (cmt)

⇒ BG = GN

c) Do AD là đường trung tuyến của ∆ABC (cmt)

⇒ D là trung điểm của BC

⇒ BD = CD

Xét hai tam giác vuông: ∆GDB và ∆GDC có:

GD là cạnh chung

BD = CD (cmt)

⇒ ∆GDB = ∆GDC (hai cạnh góc vuông)

⇒ BG = CG (hai cạnh tương ứng)

Mà BG = GN (cmt)

⇒ GN = CG

⇒ ∆GNC cân tại G

Để ∆GNC đều thì ∠GNC = 60⁰

Mà CN // AD (cmt)

⇒ ∠GNC = ∠AGM = 60⁰ (so le trong)

⇒ ∠MAG = 90⁰ - 60⁰ = 30⁰

⇒ ∠CAD = 30⁰

⇒ ∠BAD = ∠CAD = 30⁰

⇒ ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 30⁰ + 30⁰ = 60⁰

Mà ∆ABC cân (gt)

⇒ ∆ABC đều

Vậy ∆ABC đều thì ∆GNC đều