Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N

a) Ta có BD = CE và tam giác ABC cân tại A nên ta có AD = AE.
Gọi I là giao điểm của DM và EN.
Ta có:
- Tam giác BDM vuông tại D: BD^2 = BM.BA
- Tam giác CEN vuông tại E: CE^2 = CN.CA
Do BD = CE nên BM.BA = CN.CA
=> BM/CA = CN/BA
=> Tam giác ABC đồng dạng với tam giác NEC (theo định lí đồng dạng)
=> Tam giác NEC cân tại N
=> EN = NC
Tương tự, ta cũng có DM = MB
Vậy DM = EN.

b) Ta có:
- Y là trung điểm của MN (do BC song song với MN)
- AH là đường thẳng vuông góc với BC nên AH song song với MN
- H là trung điểm của MN
- I là giao điểm của AH và MN
- O là trung điểm của BC

Ta có:
- Tam giác OAB đồng dạng với tam giác OAC (do BM = CN, OA chung, góc A chung)
- Tam giác OBM đồng dạng với tam giác OCN (do BM = CN, OB chung, góc B chung)
Vậy tam giác OAB = tam giác OAC và tam giác OBM = tam giác OCN.

c) Ta có:
- OC vuông góc với AC (do OC vuông góc với BC và AC song song với BC)
Vậy OC vuông góc với AC.