Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC) nội tiếp đường tròn (O)

Để chứng minh bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

a) Ta có tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp vì góc AHD = 90 độ (định nghĩa đường cao), góc AED = 90 độ (đường cao kẻ từ H), suy ra tứ giác ADHE nội tiếp.

b) Ta có:
- Góc AED = góc AHD = góc ABC (do AB // DE và AC // DH)
- Ta có tam giác ADE đồng dạng với tam giác ANI (theo góc nhọn), suy ra AE/AN = AD/AI
- Từ tỉ lệ này, ta có AE.AC = AN.AI

c) Ta có:
- Góc AHI = góc ANI (cùng bằng góc ngoài của tam giác ADE)
- Góc ANI = góc AMI (cùng bằng góc ngoài của tam giác ADE)
- Suy ra góc AHI = góc AMI, tức là MI vuông góc HI.

Vậy ta đã chứng minh được bài toán.