a) Ta có:
Góc BHA = Góc BAC (do đường cao AH là đường phân giác của tam giác ABC)
Góc BAH = Góc BCA (do góc BAC = 90 độ)
Vậy tam giác BHA và tam giác BAC đồng dạng.
Áp dụng định lý Euclid ta có:
\(\frac{AB^2}{BH} = \frac{BC}{BA}\)
\(\Rightarrow AB^2 = BH \cdot BC\)

b) Ta có BH = 9cm, HC = 16cm.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông BHC ta có:
\(BC^2 = BH^2 + HC^2 = 9^2 + 16^2 = 81 + 256 = 337\)
\(BC = \sqrt{337}\)

Áp dụng công thức trong câu a) ta có:
\(AB^2 = 9 \cdot \sqrt{337} = 9\sqrt{337}\)
\(AB = \sqrt{9\sqrt{337}} = 3\sqrt{337}\)

Tính BD:
Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:
\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)
\(\frac{BD}{16} = \frac{3\sqrt{337}}{\sqrt{337}}\)
\(BD = 48\)

c) Ta có góc EAC = góc BAC (do AE là đường phân giác của tam giác ABC)
Và góc EHC = góc BHC (do CE vuông góc với AD)
Nhưng góc BAC = góc BHC (do tam giác BAC vuông tại A và tam giác BHC vuông tại H)
Vậy góc EAC = góc EHC.