1. Ta có góc BOC = 180° - góc BAC (do ABCD nội tiếp), góc BEC = góc BAC (do EB là tiếp tuyến của (O;R)). Vậy tứ giác OBEC nội tiếp đường tròn.

2. Ta có góc EAD = góc EDA (do AD là tiếp tuyến của (O;R)), góc AED = góc ADE (do AE là tiếp tuyến của (O;R)). Áp dụng định lí Pappus, ta có:
AB/AP = AD/AE
⇔ AB . AP = AD . AE

3. Ta có góc EBC = góc EAC (do EB là tiếp tuyến của (O;R)), góc ECB = góc ACD (do EB là tiếp tuyến của (O;R)). Vậy tứ giác AECB nội tiếp đường tròn.
Do đó, góc EPB = góc EAC = góc ECB = góc EQB. Vậy EP = EQ.
Gọi I là giao điểm của AE và BC. Ta có góc PAE = góc IAC = góc MAC. Vậy góc PAE = góc MAC.