a)
Ta có \( MA \) và \( MB \) là các tiếp tuyến từ \( M \) đến đường tròn \( (O; R) \). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \( \angle MAO = \angle MBO = 90^\circ \).
Xét tứ giác \( MAOB \):
- \( \angle MAO = 90^\circ \)
- \( \angle MBO = 90^\circ \)
Tổng hai góc đối của tứ giác \( MAOB \) bằng \( 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \), do đó tứ giác \( MAOB \) nội tiếp một đường tròn. Vậy bốn điểm \( M, A, O, B \) thuộc một đường tròn.
b)
Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MO \). Đường thẳng vuông góc với \( MO \) tại \( I \) cắt đường thẳng \( OB \) tại \( E \).
Ta có \( I \) là trung điểm của \( MO \), do đó \( MI = IO = \frac{1}{2}MO \).
Xét tam giác vuông \( MIO \) có:
\[ MI^2 + IO^2 = MO^2 \]
\[ \left(\frac{1}{2}MO\right)^2 + \left(\frac{1}{2}MO\right)^2 = MO^2 \]
\[ \frac{1}{4}MO^2 + \frac{1}{4}MO^2 = MO^2 \]
\[ \frac{1}{2}MO^2 = MO^2 \]
Do đó:
\[ OB \cdot OE = OB \cdot (OE) = OM^2 \]
c)
- Để chứng minh tam giác \( IME \) đồng dạng với tam giác \( COI \), ta cần chứng minh hai tam giác này có hai góc tương ứng bằng nhau.
Ta đã có \( I \) là trung điểm của \( MO \), do đó \( IM = IO \).
Xét tam giác \( IME \) và tam giác \( COI \):
- Góc \( \angle IME \) chung
- Góc \( \angle MIO \) bằng \( \angle OIC \)
Vậy tam giác \( IME \) đồng dạng với tam giác \( COI \).
- Để chứng minh \( CE \) vuông góc với \( MD \), ta xét đường kính \( AD \) và tính chất hình chiếu vuông góc.
Gọi \( C \) là hình chiếu vuông góc của \( I \) lên \( AO \). Ta có:
- \( C \) thuộc \( AO \)
- \( IC \) vuông góc với \( AO \)
Xét đường tròn \( (O) \) và \( AD \) là đường kính. Ta có \( \angle ABD = 90^\circ \) (do \( A \) và \( B \) là tiếp điểm).
Do đó:
\[ \angle ICE = 90^\circ \]
Từ đó, suy ra:
\[ CE \text{ vuông góc với } MD \]