Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện các bước sau:

**a. Chứng minh ΔAED cân tại A:**

1. **Giả thiết:**
- ΔABC cân tại A (AB = AC).
- BD và CE là hai đường trung tuyến của ΔABC.

2. **Chứng minh:**
- Vì ΔABC cân tại A, nên BD và CE là các đường trung tuyến đồng thời là các đường phân giác và đường cao của ΔABC.
- Do đó, D và E lần lượt là trung điểm của AC và AB.
- Xét ΔABD và ΔACE:
- AB = AC (giả thiết).
- AD = AE (vì D và E là trung điểm của AC và AB).
- BD = CE (vì BD và CE là các đường trung tuyến của ΔABC cân tại A).
- Do đó, ΔABD = ΔACE (theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh).
- Suy ra, ∠BAD = ∠CAE.
- Vì ∠BAD và ∠CAE là hai góc đối đỉnh, nên ∠BAD = ∠CAE = 90°.
- Do đó, ΔAED cân tại A (vì AD = AE và ∠BAD = ∠CAE).

**b. Chứng minh BCDE là hình thang cân:**

1. **Giả thiết:**
- ΔABC cân tại A (AB = AC).
- BD và CE là hai đường trung tuyến của ΔABC.

2. **Chứng minh:**
- Vì ΔABC cân tại A, nên BD và CE là các đường trung tuyến đồng thời là các đường phân giác và đường cao của ΔABC.
- Do đó, D và E lần lượt là trung điểm của AC và AB.
- Xét tứ giác BCDE:
- D và E là trung điểm của AC và AB, nên DE là đường trung bình của ΔABC.
- Do đó, DE // BC và DE = 1/2 BC.
- Vì DE // BC, nên tứ giác BCDE là hình thang.
- Xét ΔABD và ΔACE (như đã chứng minh ở phần a):
- ΔABD = ΔACE (theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh).
- Suy ra, BD = CE.
- Do đó, tứ giác BCDE là hình thang cân (vì hai cạnh bên BD và CE bằng nhau).

Vậy, ta đã chứng minh được:
a. ΔAED cân tại A.
b. BCDE là hình thang cân.