Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 4 cm và chiều rộng AB = 3 cm. Kéo AD về một phía D một đoạn DE sao cho DE = 1/4 AD.

a. Tính diện tích tam giác DGE:
- Đầu tiên, ta tính độ dài đoạn DE:
\[
DE = \frac{1}{4} \times AD = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \text{ cm}
\]

- Tam giác DGE là tam giác vuông tại D (vì DE vuông góc với AD). Diện tích tam giác vuông DGE được tính bằng công thức:
\[
S_{DGE} = \frac{1}{2} \times DE \times DG
\]

- Đoạn DG chính là đoạn AD, vì DGE là tam giác vuông tại D và DG là cạnh kề của góc vuông D:
\[
DG = AD = 4 \text{ cm}
\]

- Vậy diện tích tam giác DGE là:
\[
S_{DGE} = \frac{1}{2} \times 1 \times 4 = 2 \text{ cm}^2
\]

b. Tính độ dài BG:
- Để tính độ dài BG, ta cần xác định tọa độ của điểm G. Điểm G nằm trên đường thẳng kéo dài từ AD và cách D một đoạn DE = 1 cm. Vì DE vuông góc với AD, điểm G sẽ nằm trên đường thẳng song song với AB và cách D một đoạn bằng chiều rộng của hình chữ nhật là 3 cm.

- Tọa độ điểm B là (0, 3) và tọa độ điểm G là (4, 3) (vì G nằm trên đường thẳng song song với AB và cách D một đoạn 3 cm).

- Độ dài BG là khoảng cách giữa hai điểm B(0, 3) và G(4, 3):
\[
BG = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài BG là 4 cm.