### Câu a. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ phế phẩm của lô hàng

Để tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ phế phẩm của lô hàng, ta sử dụng công thức cho khoảng tin cậy của tỉ lệ:

\[
\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}
\]

Trong đó:
- \(\hat{p}\) là tỉ lệ mẫu.
- \(Z_{\alpha/2}\) là giá trị z tương ứng với mức ý nghĩa \(\alpha/2\).
- \(n\) là kích thước mẫu.

Với mức tin cậy 95%, \(\alpha = 0.05\) và \(Z_{\alpha/2} = 1.96\).

Từ đề bài, ta có:
- Số phế phẩm trong mẫu: 8
- Kích thước mẫu: 100

Tỉ lệ phế phẩm mẫu \(\hat{p}\) là:

\[
\hat{p} = \frac{8}{100} = 0.08
\]

Khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ phế phẩm là:

\[
0.08 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.08 \times (1 - 0.08)}{100}}
\]

\[
0.08 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.08 \times 0.92}{100}}
\]

\[
0.08 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.0736}{100}}
\]

\[
0.08 \pm 1.96 \sqrt{0.000736}
\]

\[
0.08 \pm 1.96 \times 0.0271
\]

\[
0.08 \pm 0.0531
\]

Vậy khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ phế phẩm của lô hàng là:

\[
(0.0269, 0.1331)
\]

### Câu b. Kiểm định báo cáo của Sở Y tế

Để kiểm định báo cáo của Sở Y tế, ta sử dụng kiểm định giả thuyết cho tỉ lệ.

Giả thuyết:
- \(H_0\): Tỉ lệ người dân tham gia bảo hiểm y tế là 85% (\(p = 0.85\)).
- \(H_1\): Tỉ lệ người dân tham gia bảo hiểm y tế khác 85% (\(p \neq 0.85\)).

Sử dụng kiểm định z cho tỉ lệ:

\[
z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1 - p_0)}{n}}}
\]

Trong đó:
- \(\hat{p}\) là tỉ lệ mẫu.
- \(p_0\) là tỉ lệ theo giả thuyết không.
- \(n\) là kích thước mẫu.

Từ đề bài, ta có:
- Số người có thẻ BHYT trong mẫu: 400
- Kích thước mẫu: 500
- Tỉ lệ mẫu \(\hat{p}\):

\[
\hat{p} = \frac{400}{500} = 0.8
\]

- Tỉ lệ theo giả thuyết không \(p_0\): 0.85

Tính giá trị z:

\[
z = \frac{0.8 - 0.85}{\sqrt{\frac{0.85 \times (1 - 0.85)}{500}}}
\]

\[
z = \frac{0.8 - 0.85}{\sqrt{\frac{0.85 \times 0.15}{500}}}
\]

\[
z = \frac{-0.05}{\sqrt{\frac{0.1275}{500}}}
\]

\[
z = \frac{-0.05}{\sqrt{0.000255}}
\]

\[
z = \frac{-0.05}{0.01597}
\]

\[
z \approx -3.13
\]

Với mức ý nghĩa 5%, giá trị z tới hạn cho kiểm định hai phía là \(\pm 1.96\).

Vì \(|z| = 3.13 > 1.96\), ta bác bỏ giả thuyết không \(H_0\).

Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, có đủ bằng chứng để bác bỏ báo cáo của Sở Y tế. Tỉ lệ người dân tham gia bảo hiểm y tế không phải là 85%.