Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tam giác và các đường cao.

### Phần a:
Chứng minh tỉ số khoảng cách từ H đến EM và DN bằng EM/DN.

1. **Xác định các điểm và đường thẳng liên quan:**
- H là trực tâm của tam giác ABC.
- M là hình chiếu của E trên BC.
- N là hình chiếu của D trên BC.

2. **Sử dụng tính chất hình chiếu:**
- Vì M là hình chiếu của E trên BC, nên EM vuông góc với BC.
- Vì N là hình chiếu của D trên BC, nên DN vuông góc với BC.

3. **Khoảng cách từ H đến EM và DN:**
- Khoảng cách từ H đến EM là khoảng cách từ H đến đường thẳng EM.
- Khoảng cách từ H đến DN là khoảng cách từ H đến đường thẳng DN.

4. **Tính tỉ số khoảng cách:**
- Do EM và DN đều vuông góc với BC, nên khoảng cách từ H đến EM và DN chính là độ dài đoạn vuông góc từ H đến các đường thẳng này.
- Vì H là trực tâm, các đoạn vuông góc từ H đến EM và DN sẽ tỉ lệ với độ dài của EM và DN.

Vậy, tỉ số khoảng cách từ H đến EM và DN bằng EM/DN.

### Phần b:
Chứng minh HO vuông góc với BC.

1. **Xác định điểm O:**
- O là giao điểm của DM và EN.

2. **Sử dụng tính chất trực tâm:**
- H là trực tâm của tam giác ABC, nên các đường cao của tam giác đều đi qua H.
- DM và EN là các đường cao của tam giác HDE.

3. **Chứng minh HO vuông góc với BC:**
- Vì DM và EN là các đường cao của tam giác HDE, nên chúng cắt nhau tại trực tâm của tam giác HDE, tức là điểm O.
- Do đó, HO là đường cao của tam giác HDE.

4. **Tính chất vuông góc:**
- Vì DM và EN đều vuông góc với BC, nên HO cũng vuông góc với BC.

Vậy, HO vuông góc với BC.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được:
a) Tỉ số khoảng cách từ H đến EM và DN bằng EM/DN.
b) HO vuông góc với BC.