Để chứng minh rằng trong mặt phẳng với 9 đường thẳng mà không có hai đường thẳng nào song song, có ít nhất hai đường thẳng cắt nhau theo một góc nhỏ hơn hoặc bằng 20 độ, ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý hộp bồ câu).

Trước tiên, ta cần xác định tổng số góc tạo thành bởi các cặp đường thẳng. Với 9 đường thẳng, số cặp đường thẳng là:
\[
\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36
\]

Mỗi cặp đường thẳng tạo thành một góc nhỏ hơn 180 độ. Chúng ta sẽ chia khoảng từ 0 đến 180 độ thành 9 phần bằng nhau, mỗi phần có độ lớn là:
\[
\frac{180}{9} = 20 \text{ độ}
\]

Theo nguyên lý Dirichlet, nếu ta có 36 cặp đường thẳng và chỉ có 9 khoảng góc, thì ít nhất một khoảng góc sẽ chứa ít nhất:
\[
\left\lceil \frac{36}{9} \right\rceil = 4
\]
cặp đường thẳng.

Điều này có nghĩa là có ít nhất một khoảng góc (20 độ) chứa ít nhất 4 cặp đường thẳng. Do đó, trong khoảng từ 0 đến 20 độ, sẽ có ít nhất một cặp đường thẳng cắt nhau theo một góc nhỏ hơn hoặc bằng 20 độ.

Vậy ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẳng với 9 đường thẳng mà không có hai đường thẳng nào song song, có ít nhất hai đường thẳng cắt nhau theo một góc nhỏ hơn hoặc bằng 20 độ.