### Bài 5:
Để tìm số học sinh của trường, ta cần tìm một số \( n \) thỏa mãn các điều kiện sau:
- \( n \) khi chia cho 42 dư 4.
- \( n \) khi chia cho 45 dư 4.
- \( n \) nằm trong khoảng từ 500 đến 700.

Ta có thể biểu diễn \( n \) dưới dạng:
\[ n = 42k + 4 \]
\[ n = 45m + 4 \]

Suy ra:
\[ 42k + 4 = 45m + 4 \]
\[ 42k = 45m \]
\[ 14k = 15m \]

Điều này có nghĩa là \( n \) phải là bội số chung của 42 và 45 cộng thêm 4. Bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 42 và 45 là:
\[ \text{BCNN}(42, 45) = \frac{42 \times 45}{\text{ƯCLN}(42, 45)} \]

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 42 và 45 là 3:
\[ \text{BCNN}(42, 45) = \frac{42 \times 45}{3} = 630 \]

Vậy \( n \) có dạng:
\[ n = 630k + 4 \]

Ta cần tìm \( n \) trong khoảng từ 500 đến 700:
\[ 500 \leq 630k + 4 \leq 700 \]
\[ 496 \leq 630k \leq 696 \]
\[ \frac{496}{630} \leq k \leq \frac{696}{630} \]
\[ 0.787 \leq k \leq 1.104 \]

Vì \( k \) là số nguyên, nên \( k = 1 \):
\[ n = 630 \times 1 + 4 = 634 \]

Vậy số học sinh của trường là 634 học sinh. Đáp án đúng là:
\[ \boxed{634} \]

### Bài 6:
Để tìm số ngày ít nhất sau đó An và Bình lại cùng trực nhật, ta cần tìm bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 12 và 15.

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 12 và 15 là 3:
\[ \text{BCNN}(12, 15) = \frac{12 \times 15}{\text{ƯCLN}(12, 15)} = \frac{12 \times 15}{3} = 60 \]

Vậy sau 60 ngày, An và Bình sẽ lại cùng trực nhật. Đáp án đúng là:
\[ \boxed{60} \]