Để xác định điểm nào thuộc đồ thị của hàm số \( y = 2x^2 + 3x + 1 \), chúng ta cần kiểm tra xem các điểm có thỏa mãn phương trình của hàm số hay không.

1. Điểm \( A(0, 3) \):
- Thay \( x = 0 \) vào hàm số: \( y = 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 \)
- \( y \neq 3 \), do đó điểm \( A(0, 3) \) không thuộc đồ thị.

2. Điểm \( B(0, 1) \):
- Thay \( x = 0 \) vào hàm số: \( y = 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 \)
- \( y = 1 \), do đó điểm \( B(0, 1) \) thuộc đồ thị.

3. Điểm \( C(1, 0) \):
- Thay \( x = 1 \) vào hàm số: \( y = 2(1)^2 + 3(1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)
- \( y \neq 0 \), do đó điểm \( C(1, 0) \) không thuộc đồ thị.

4. Điểm \( D(-\frac{1}{2}, 0) \):
- Thay \( x = -\frac{1}{2} \) vào hàm số:
\[
y = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0
\]
- \( y = 0 \), do đó điểm \( D(-\frac{1}{2}, 0) \) thuộc đồ thị.

5. Điểm \( E(-1, 0) \):
- Thay \( x = -1 \) vào hàm số:
\[
y = 2(-1)^2 + 3(-1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0
\]
- \( y = 0 \), do đó điểm \( E(-1, 0) \) thuộc đồ thị.

Kết luận: Các điểm thuộc đồ thị của hàm số \( y = 2x^2 + 3x + 1 \) là \( B(0, 1) \), \( D(-\frac{1}{2}, 0) \), và \( E(-1, 0) \).