Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ đi từng bước một.

### Phần a: Chứng minh ΔABC = ΔACH

1. **Tam giác ABC cân tại A**:
- Do tam giác ABC cân tại A, nên \( AB = AC \).

2. **AH vuông góc với BC**:
- AH là đường cao từ A xuống BC, do đó AH vuông góc với BC.

3. **N là trung điểm của AC**:
- N là trung điểm của AC, do đó \( AN = NC \).

4. **Chứng minh ΔABC = ΔACH**:
- Xét hai tam giác ΔABC và ΔACH:
- \( AB = AC \) (do tam giác ABC cân tại A).
- \( \angle BAH = \angle CAH \) (do AH là đường cao, nên hai góc này đều bằng 90 độ).
- \( AH \) là cạnh chung của hai tam giác ΔABC và ΔACH.

- Do đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[
\Delta ABC = \Delta ACH
\]

### Phần b: Chứng minh AG // CK

1. **2 đoạn thẳng BN cắt nhau tại G**:
- G là giao điểm của hai đoạn thẳng BN.

2. **Trên tia đối của tia BN lấy K sao cho NK = NG**:
- K nằm trên tia đối của tia BN và \( NK = NG \).

3. **Chứng minh AG // CK**:
- Xét tam giác ANC, N là trung điểm của AC.
- Do đó, \( AN = NC \).
- G là điểm trên BN sao cho \( NG = NK \).
- Vì \( NK = NG \), nên G và K đối xứng nhau qua N.
- Do đó, \( AG \) và \( CK \) là hai đường thẳng song song với nhau vì chúng đối xứng qua trung điểm N của AC.

### Phần c: Chứng minh GB = GK

1. **Chứng minh GB = GK**:
- Xét tam giác BNG và tam giác KNG:
- \( NG = NK \) (theo giả thiết).
- \( BN = BN \) (cạnh chung).
- \( \angle BNG = \angle KNG \) (đối đỉnh).

- Do đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[
\Delta BNG = \Delta KNG
\]

- Suy ra \( BG = KG \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán:
- a) ΔABC = ΔACH.
- b) AG // CK.
- c) GB = GK.