Để giải bài toán này, ta gọi \( n \) là số bài kiểm tra ban đầu của bạn Lan Anh và \( S \) là tổng điểm của các bài kiểm tra đó.

**Trường hợp 1:**
Nếu thêm 3 điểm 10 và 3 điểm 9, tổng số bài kiểm tra sẽ là \( n + 6 \) và tổng điểm sẽ là \( S + 3 \times 10 + 3 \times 9 = S + 30 + 27 = S + 57 \). Điểm trung bình của tất cả các bài kiểm tra sẽ là 8. Do đó, ta có phương trình:
\[
\frac{S + 57}{n + 6} = 8
\]
Giải phương trình này:
\[
S + 57 = 8(n + 6)
\]
\[
S + 57 = 8n + 48
\]
\[
S = 8n - 9 \quad \text{(1)}
\]

**Trường hợp 2:**
Nếu thêm 1 điểm 9 và 2 điểm 10, tổng số bài kiểm tra sẽ là \( n + 3 \) và tổng điểm sẽ là \( S + 1 \times 9 + 2 \times 10 = S + 9 + 20 = S + 29 \). Điểm trung bình của tất cả các bài kiểm tra sẽ là 7,5. Do đó, ta có phương trình:
\[
\frac{S + 29}{n + 3} = 7.5
\]
Giải phương trình này:
\[
S + 29 = 7.5(n + 3)
\]
\[
S + 29 = 7.5n + 22.5
\]
\[
S = 7.5n - 6.5 \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ ta giải hệ phương trình (1) và (2):
\[
\begin{cases}
S = 8n - 9 \\
S = 7.5n - 6.5
\end{cases}
\]

Đặt hai phương trình bằng nhau:
\[
8n - 9 = 7.5n - 6.5
\]
\[
8n - 7.5n = -6.5 + 9
\]
\[
0.5n = 2.5
\]
\[
n = 5
\]

Vậy số bài kiểm tra ban đầu của bạn Lan Anh là \( n = 5 \).

**Kiểm tra lại:**
- Với \( n = 5 \), từ phương trình (1):
\[
S = 8 \times 5 - 9 = 40 - 9 = 31
\]

- Trường hợp 1:
\[
\frac{31 + 57}{5 + 6} = \frac{88}{11} = 8
\]

- Trường hợp 2:
\[
\frac{31 + 29}{5 + 3} = \frac{60}{8} = 7.5
\]

Kết quả đúng. Vậy bạn Lan Anh đã có 5 bài kiểm tra.