Để giải phương trình \(4x^2 - x - 1 = \sqrt{2x + 1}\), ta cần loại bỏ căn bậc hai bằng cách bình phương cả hai vế của phương trình. Tuy nhiên, trước khi làm điều đó, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới căn là không âm, tức là \(2x + 1 \geq 0\).

1. **Điều kiện xác định:**
\[
2x + 1 \geq 0 \implies x \geq -\frac{1}{2}
\]

2. **Bình phương cả hai vế của phương trình:**
\[
(4x^2 - x - 1)^2 = (\sqrt{2x + 1})^2
\]
\[
(4x^2 - x - 1)^2 = 2x + 1
\]

3. **Khai triển vế trái:**
\[
(4x^2 - x - 1)^2 = (4x^2 - x - 1)(4x^2 - x - 1)
\]
\[
= 16x^4 - 4x^3 - 4x^2 - 4x^3 + x^2 + x - 4x^2 + x - 1
\]
\[
= 16x^4 - 8x^3 - 7x^2 + 2x - 1
\]

4. **Đưa phương trình về dạng đa thức:**
\[
16x^4 - 8x^3 - 7x^2 + 2x - 1 = 2x + 1
\]
\[
16x^4 - 8x^3 - 7x^2 + 2x - 1 - 2x - 1 = 0
\]
\[
16x^4 - 8x^3 - 7x^2 - 2 = 0
\]

5. **Giải phương trình bậc bốn:**
Phương trình này khá phức tạp để giải bằng tay, nên ta có thể thử các giá trị cụ thể hoặc sử dụng các công cụ tính toán để tìm nghiệm.

6. **Thử nghiệm các giá trị cụ thể:**
Giả sử \(x = 0\):
\[
16(0)^4 - 8(0)^3 - 7(0)^2 - 2 = -2 \neq 0
\]
Giả sử \(x = 1\):
\[
16(1)^4 - 8(1)^3 - 7(1)^2 - 2 = 16 - 8 - 7 - 2 = -1 \neq 0
\]
Giả sử \(x = -\frac{1}{2}\):
\[
16\left(-\frac{1}{2}\right)^4 - 8\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 7\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2
\]
\[
= 16\left(\frac{1}{16}\right) - 8\left(-\frac{1}{8}\right) - 7\left(\frac{1}{4}\right) - 2
\]
\[
= 1 + 1 - \frac{7}{4} - 2
\]
\[
= 2 - \frac{7}{4} - 2
\]
\[
= 2 - 1.75 - 2 = -1.75 \neq 0
\]

Do đó, ta cần sử dụng các phương pháp giải phương trình bậc bốn hoặc các công cụ tính toán để tìm nghiệm chính xác. Tuy nhiên, từ các thử nghiệm trên, có vẻ như phương trình không có nghiệm đơn giản.