Để giải bài toán này, ta cần thiết lập các phương trình dựa trên các thông tin đã cho và giải chúng để tìm số học sinh đạt điểm giỏi giữa học kỳ hai.

Gọi \( x \) là số học sinh đạt điểm giỏi cuối học kỳ một và \( y \) là tổng số học sinh của lớp 5A.

Theo đề bài, số học sinh đạt điểm giỏi cuối học kỳ một bằng \( \frac{3}{7} \) số học sinh còn lại của lớp. Số học sinh còn lại của lớp là \( y - x \). Do đó, ta có phương trình:
\[ x = \frac{3}{7}(y - x) \]

Giữa học kỳ hai, có thêm 3 học sinh đạt điểm giỏi, nên số học sinh đạt điểm giỏi lúc này là \( x + 3 \). Số học sinh đạt điểm giỏi của cả lớp bằng \( \frac{2}{3} \) số học sinh còn lại của lớp. Số học sinh còn lại của lớp là \( y - (x + 3) \). Do đó, ta có phương trình:
\[ x + 3 = \frac{2}{3}(y - (x + 3)) \]

Bây giờ, ta giải hệ phương trình này.

1. Từ phương trình đầu tiên:
\[ x = \frac{3}{7}(y - x) \]
\[ 7x = 3(y - x) \]
\[ 7x = 3y - 3x \]
\[ 7x + 3x = 3y \]
\[ 10x = 3y \]
\[ y = \frac{10}{3}x \]

2. Thay \( y = \frac{10}{3}x \) vào phương trình thứ hai:
\[ x + 3 = \frac{2}{3}\left(\frac{10}{3}x - (x + 3)\right) \]
\[ x + 3 = \frac{2}{3}\left(\frac{10}{3}x - x - 3\right) \]
\[ x + 3 = \frac{2}{3}\left(\frac{7}{3}x - 3\right) \]
\[ x + 3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{3}x - \frac{2}{3} \cdot 3 \]
\[ x + 3 = \frac{14}{9}x - 2 \]
\[ x + 3 + 2 = \frac{14}{9}x \]
\[ x + 5 = \frac{14}{9}x \]
\[ 9(x + 5) = 14x \]
\[ 9x + 45 = 14x \]
\[ 45 = 14x - 9x \]
\[ 45 = 5x \]
\[ x = 9 \]

Vậy, số học sinh đạt điểm giỏi giữa học kỳ hai là:
\[ x + 3 = 9 + 3 = 12 \]

Do đó, giữa học kỳ hai, bài kiểm tra môn Toán của lớp 5A có 12 học sinh đạt điểm giỏi.