Để tính \(\tan(2^n a)\) theo \(\tan(a)\), chúng ta có thể sử dụng công thức nhân đôi của hàm số lượng giác. Công thức này giúp chúng ta biểu diễn \(\tan(2a)\) theo \(\tan(a)\):

\[
\tan(2a) = \frac{2 \tan(a)}{1 - \tan^2(a)}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng công thức này để tính \(\tan(2^n a)\) theo \(\tan(a)\). Chúng ta sẽ làm điều này bằng cách sử dụng công thức nhân đôi nhiều lần.

1. Đầu tiên, tính \(\tan(2a)\):

\[
\tan(2a) = \frac{2 \tan(a)}{1 - \tan^2(a)}
\]

2. Tiếp theo, tính \(\tan(4a)\) bằng cách sử dụng kết quả của \(\tan(2a)\):

\[
\tan(4a) = \tan(2 \cdot 2a) = \frac{2 \tan(2a)}{1 - \tan^2(2a)}
\]

Thay \(\tan(2a)\) vào:

\[
\tan(4a) = \frac{2 \left( \frac{2 \tan(a)}{1 - \tan^2(a)} \right)}{1 - \left( \frac{2 \tan(a)}{1 - \tan^2(a)} \right)^2}
\]

3. Tương tự, tính \(\tan(8a)\):

\[
\tan(8a) = \tan(2 \cdot 4a) = \frac{2 \tan(4a)}{1 - \tan^2(4a)}
\]

Thay \(\tan(4a)\) vào:

\[
\tan(8a) = \frac{2 \left( \frac{2 \left( \frac{2 \tan(a)}{1 - \tan^2(a)} \right)}{1 - \left( \frac{2 \tan(a)}{1 - \tan^2(a)} \right)^2} \right)}{1 - \left( \frac{2 \left( \frac{2 \tan(a)}{1 - \tan^2(a)} \right)}{1 - \left( \frac{2 \tan(a)}{1 - \tan^2(a)} \right)^2} \right)^2}
\]

Quá trình này có thể tiếp tục cho đến khi đạt được \(\tan(2^n a)\).

Tuy nhiên, công thức tổng quát cho \(\tan(2^n a)\) theo \(\tan(a)\) là phức tạp và không có dạng đơn giản. Thay vào đó, chúng ta thường sử dụng phương pháp đệ quy như trên để tính toán từng bước một.