Để viết phương trình chính tắc của elip (E) có một tiêu điểm là \( F_1(-2;0) \) và đi qua điểm \( M(2;3) \), chúng ta cần xác định các thông số của elip.

1. **Xác định tâm của elip:**
Vì tiêu điểm \( F_1 \) có tọa độ \( (-2;0) \), ta giả sử elip có tâm tại gốc tọa độ \( O(0;0) \). Điều này có nghĩa là elip có phương trình chính tắc dạng:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]

2. **Xác định khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm:**
Khoảng cách từ tâm \( O \) đến tiêu điểm \( F_1 \) là \( c \). Vì \( F_1 \) có tọa độ \( (-2;0) \), ta có:
\[
c = 2
\]

3. **Mối quan hệ giữa các bán trục:**
Trong elip, ta có mối quan hệ:
\[
c^2 = a^2 - b^2
\]
Thay \( c = 2 \) vào, ta được:
\[
4 = a^2 - b^2
\]

4. **Sử dụng điểm \( M(2;3) \) để tìm phương trình:**
Điểm \( M(2;3) \) nằm trên elip, nên thỏa mãn phương trình:
\[
\frac{2^2}{a^2} + \frac{3^2}{b^2} = 1
\]
Hay:
\[
\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1
\]

5. **Giải hệ phương trình:**
Ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
a^2 - b^2 = 4 \\
\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1
\end{cases}
\]

Đặt \( a^2 = A \) và \( b^2 = B \), ta có:
\[
\begin{cases}
A - B = 4 \\
\frac{4}{A} + \frac{9}{B} = 1
\end{cases}
\]

Từ phương trình \( A - B = 4 \), ta có \( A = B + 4 \). Thay vào phương trình thứ hai:
\[
\frac{4}{B+4} + \frac{9}{B} = 1
\]

Giải phương trình này:
\[
\frac{4B + 36 + 9(B+4)}{B(B+4)} = 1
\]
\[
\frac{4B + 36 + 9B + 36}{B(B+4)} = 1
\]
\[
\frac{13B + 72}{B(B+4)} = 1
\]
\[
13B + 72 = B^2 + 4B
\]
\[
B^2 - 9B - 72 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này:
\[
B = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 288}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{369}}{2} = \frac{9 \pm 3\sqrt{41}}{2}
\]

Chọn giá trị dương:
\[
B = \frac{9 + 3\sqrt{41}}{2}
\]

Khi đó:
\[
A = B + 4 = \frac{9 + 3\sqrt{41}}{2} + 4 = \frac{9 + 3\sqrt{41} + 8}{2} = \frac{17 + 3\sqrt{41}}{2}
\]

6. **Phương trình chính tắc của elip:**
\[
a^2 = \frac{17 + 3\sqrt{41}}{2}, \quad b^2 = \frac{9 + 3\sqrt{41}}{2}
\]

Do đó, phương trình chính tắc của elip là:
\[
\frac{x^2}{\frac{17 + 3\sqrt{41}}{2}} + \frac{y^2}{\frac{9 + 3\sqrt{41}}{2}} = 1
\]

Hoặc có thể viết lại dưới dạng:
\[
\frac{2x^2}{17 + 3\sqrt{41}} + \frac{2y^2}{9 + 3\sqrt{41}} = 1
\]