Để chứng minh rằng \( MC + MB > AC + AB \) cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) và đường thẳng \( d \) qua \( A \) song song với \( BC \), ta làm như sau:

1. **Đặt vấn đề và giả thiết:**
- Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \).
- Đường thẳng \( d \) qua \( A \) song song với \( BC \).
- Điểm \( M \) nằm trên \( d \) và \( M \neq A \).

2. **Sử dụng tính chất của đường thẳng song song:**
- Vì \( d \parallel BC \), nên các đoạn thẳng \( MA \) và \( BC \) là hai đoạn thẳng song song.
- Do đó, tam giác \( MBC \) là tam giác có cạnh \( MA \) song song với cạnh \( BC \).

3. **Áp dụng bất đẳng thức tam giác:**
- Trong tam giác \( MBC \), áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
\[
MB + MC > BC
\]

4. **Sử dụng tính chất của tam giác cân:**
- Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).
- Do đó, \( BC \) là cạnh đáy của tam giác cân \( ABC \).

5. **So sánh các đoạn thẳng:**
- Ta cần chứng minh \( MB + MC > AB + AC \).
- Ta đã có \( MB + MC > BC \).
- Vì \( AB = AC \), nên \( AB + AC = 2AB \).

6. **Chứng minh bất đẳng thức:**
- Ta cần chứng minh rằng \( MB + MC > 2AB \).
- Ta biết rằng \( MB + MC > BC \) và \( BC \) là cạnh đáy của tam giác cân \( ABC \).
- Trong tam giác cân \( ABC \), cạnh đáy \( BC \) luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh bên \( AB + AC \), tức là:
\[
BC < AB + AC = 2AB
\]
- Do đó, ta có:
\[
MB + MC > BC \quad \text{và} \quad BC < 2AB
\]
- Suy ra:
\[
MB + MC > 2AB
\]

7. **Kết luận:**
- Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
MB + MC > AB + AC
\]
- Điều này hoàn toàn đúng với giả thiết ban đầu.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MC + MB > AC + AB \) cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) và đường thẳng \( d \) qua \( A \) song song với \( BC \).