Để chứng minh rằng điểm D nằm giữa H và M trong tam giác nhọn ABC với AB < AC, ta cần sử dụng một số tính chất hình học cơ bản về đường cao, đường phân giác và đường trung tuyến.

1. **Đường cao AH**:
- AH là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC, tức là AH vuông góc với BC tại H.

2. **Đường phân giác trong AD**:
- AD là đường phân giác của góc A, tức là nó chia góc BAC thành hai góc bằng nhau.
- Theo tính chất của đường phân giác, D nằm trên cạnh BC và chia cạnh BC theo tỉ lệ của các cạnh AB và AC, tức là:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

3. **Đường trung tuyến AM**:
- AM là đường trung tuyến từ đỉnh A đến trung điểm M của cạnh BC, tức là M chia BC thành hai đoạn bằng nhau:
\[
BM = MC
\]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng điểm D nằm giữa H và M trên đoạn BC.

### Chứng minh:

- **Vị trí của H trên BC**:
Vì AH là đường cao từ A xuống BC, nên H là chân đường vuông góc từ A xuống BC. Do tam giác ABC là tam giác nhọn, H nằm giữa B và C trên đoạn BC.

- **Vị trí của D trên BC**:
D là điểm chia BC theo tỉ lệ của các cạnh AB và AC. Vì AB < AC, nên theo tính chất của đường phân giác:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} < 1
\]
Điều này có nghĩa là BD < DC, tức là D nằm gần B hơn C trên đoạn BC.

- **Vị trí của M trên BC**:
M là trung điểm của BC, tức là BM = MC. Do đó, M nằm chính giữa B và C trên đoạn BC.

### So sánh vị trí của D, H và M:

- H nằm giữa B và C trên đoạn BC.
- D nằm giữa B và M trên đoạn BC (vì BD < DC và M là trung điểm của BC).
- M nằm giữa B và C trên đoạn BC.

Từ các vị trí này, ta thấy rằng:
- D nằm giữa H và M trên đoạn BC, vì H nằm giữa B và C, và D nằm giữa B và M.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng điểm D nằm giữa H và M trên đoạn BC trong tam giác nhọn ABC với AB < AC.