Để chứng minh rằng góc \( \angle BAC \) lớn hơn 90 độ khi \( BC^2 > AB^2 + AC^2 \), ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác.

Xét tam giác \( ABC \) với các cạnh \( AB = c \), \( AC = b \), và \( BC = a \). Theo định lý cosin, ta có:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle BAC) \]

Chúng ta cần chứng minh rằng \( \angle BAC > 90^\circ \). Điều này tương đương với việc \( \cos(\angle BAC) < 0 \) (vì cos của góc lớn hơn 90 độ là âm).

Giả sử \( BC^2 > AB^2 + AC^2 \), tức là:

\[ a^2 > b^2 + c^2 \]

Thay vào phương trình của định lý cosin:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle BAC) \]

Ta có:

\[ b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle BAC) > b^2 + c^2 \]

Trừ \( b^2 + c^2 \) từ cả hai vế:

\[ -2bc \cos(\angle BAC) > 0 \]

Chia cả hai vế cho \( -2bc \) (lưu ý rằng \( bc > 0 \) vì \( b \) và \( c \) là độ dài các cạnh của tam giác):

\[ \cos(\angle BAC) < 0 \]

Vì \( \cos(\angle BAC) < 0 \), nên \( \angle BAC > 90^\circ \).

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng nếu \( BC^2 > AB^2 + AC^2 \), thì \( \angle BAC > 90^\circ \).