Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Vẽ hình và chứng minh bốn điểm H, K, A, M cùng thuộc một đường tròn

1. **Vẽ hình**:
- Vẽ đường tròn tâm O.
- Vẽ đường thẳng d nằm ngoài đường tròn.
- Chọn điểm M bất kỳ trên đường thẳng d.
- Kẻ hai tiếp tuyến MB và MC từ M đến đường tròn, với B và C là các tiếp điểm.
- Kẻ đường thẳng OA vuông góc với d tại A.
- Kẻ đường thẳng OM cắt BC tại H.
- Kẻ đường thẳng OA cắt BC tại K.

2. **Chứng minh bốn điểm H, K, A, M cùng thuộc một đường tròn**:
- Ta có MB = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau từ một điểm ngoài đường tròn).
- Gọi \( R \) là bán kính của đường tròn (O).
- Tam giác OMB và OMC là hai tam giác vuông tại B và C, với OB = OC = R.
- Do đó, \( \angle OMB = \angle OMC = 90^\circ \).
- Gọi \( \angle BMC = \alpha \), ta có \( \angle BOC = 2\alpha \).
- Xét tứ giác OMBH, ta có \( \angle OMB + \angle OBH = 90^\circ + \angle OBH = 180^\circ \), do đó tứ giác OMBH nội tiếp.
- Tương tự, tứ giác OMCH cũng nội tiếp.
- Do đó, H là trực tâm của tam giác OMC.
- Xét tứ giác OAKH, ta có \( \angle OAK = 90^\circ \) và \( \angle OHK = 90^\circ \), do đó tứ giác OAKH nội tiếp.
- Do đó, bốn điểm H, K, A, M cùng thuộc một đường tròn.

3. **Xác định tâm I của đường tròn đó**:
- Tâm I là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng HA, KA, MA.

### Bước 2: Chứng minh OA. OK = OB² và OE là tiếp tuyến của đường tròn (I)

1. **Chứng minh OA. OK = OB²**:
- Ta có \( \angle OAK = 90^\circ \), do đó \( OK \) là đường kính của đường tròn nội tiếp tứ giác OAKH.
- Do đó, \( OK = 2R \).
- Ta có \( OB = R \).
- Do đó, \( OA \cdot OK = R \cdot 2R = 2R^2 = OB^2 \).

2. **Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn (I)**:
- Gọi E là giao điểm của đường tròn (O) và (I).
- Ta có \( OE \) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
- Do đó, \( OE \) vuông góc với bán kính tại E.
- Do đó, \( OE \) là tiếp tuyến của đường tròn (I).

### Bước 3: Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OKH lớn nhất

1. **Diện tích tam giác OKH**:
- Diện tích tam giác OKH là \( S = \frac{1}{2} \cdot OK \cdot HK \cdot \sin(\angle OKH) \).
- Để diện tích tam giác OKH lớn nhất, cần \( HK \) lớn nhất và \( \sin(\angle OKH) \) lớn nhất.
- \( HK \) lớn nhất khi H và K trùng nhau, tức là khi M nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A.

2. **Vị trí của điểm M**:
- Điểm M nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A để diện tích tam giác OKH lớn nhất.

Vậy, vị trí của điểm M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OKH lớn nhất là khi M nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A.