Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

### Phần 1: Hàm số và tiếp tuyến

Cho hàm số \( y = 2x^3 - 3(2m - 1)x^2 - 12mx \).

1. Khi \( m = 1 \), hàm số trở thành \( y = 2x^3 - 3(2 \cdot 1 - 1)x^2 - 12 \cdot 1 x = 2x^3 - 3x^2 - 12x \).

Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \( (x_0, y_0) \), ta cần đạo hàm của hàm số:
\[
y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x) = 6x^2 - 6x - 12
\]

Giả sử tiếp tuyến tại điểm \( (x_0, y_0) \) có phương trình:
\[
y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)
\]

Biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox và Oy tại hai điểm phân biệt M và N sao cho \( \angle MON = 90^\circ \).

Để tìm \( x_0 \), ta cần giải phương trình \( y' = 0 \):
\[
6x^2 - 6x - 12 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -1
\]

Với \( x_0 = 2 \):
\[
y_0 = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20
\]
\[
y'(2) = 6(2)^2 - 6(2) - 12 = 24 - 12 - 12 = 0
\]

Với \( x_0 = -1 \):
\[
y_0 = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7
\]
\[
y'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) - 12 = 6 + 6 - 12 = 0
\]

Tiếp tuyến tại \( (2, -20) \) và \( (-1, 7) \) đều có hệ số góc bằng 0, nên không thể cắt trục Ox và Oy tại hai điểm phân biệt.

### Phần 2: Điểm cực trị

Để hàm số \( y = 2x^3 - 3(2m - 1)x^2 - 12mx \) có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục hoành, ta cần điều kiện \( y' = 0 \) có hai nghiệm phân biệt và \( y \) tại hai nghiệm này có dấu khác nhau.

Đạo hàm:
\[
y' = 6x^2 - 6(2m - 1)x - 12m = 6x^2 - 12mx + 6x - 12m
\]

Giải phương trình \( y' = 0 \):
\[
6x^2 - 6(2m - 1)x - 12m = 0 \implies x^2 - (2m - 1)x - 2m = 0
\]

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi:
\[
\Delta = (2m - 1)^2 + 8m > 0 \implies 4m^2 - 4m + 1 + 8m > 0 \implies 4m^2 + 4m + 1 > 0
\]

Phương trình này luôn đúng với mọi \( m \) thực. Do đó, hàm số luôn có hai nghiệm phân biệt.

Để hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành, ta cần \( y \) tại hai nghiệm này có dấu khác nhau. Điều này xảy ra khi tích của hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) là âm:
\[
x_1 \cdot x_2 = -2m < 0 \implies m > 0
\]

### Phần 3: Tập hợp S

1. Số bộ số \( (x, y, z) \) thỏa mãn \( x + y + z = 5 \) với \( x, y, z \) là các số nguyên dương không lớn hơn 30.

Ta có \( x, y, z \geq 1 \), đặt \( x' = x-1 \), \( y' = y-1 \), \( z' = z-1 \) thì \( x', y', z' \geq 0 \) và \( x' + y' + z' = 2 \).

Số nghiệm của phương trình này là số tổ hợp chập 2 của 4:
\[
\binom{4}{2} = 6
\]

2. Xác suất để \( a + b + c < 30 \).

Tổng số bộ số \( (a, b, c) \) là \( 30^3 = 27000 \).

Số bộ số \( (a, b, c) \) thỏa mãn \( a + b + c < 30 \) là số nghiệm của phương trình \( a + b + c \leq 29 \).

Đặt \( a' = a-1 \), \( b' = b-1 \), \( c' = c-1 \) thì \( a', b', c' \geq 0 \) và \( a' + b' + c' \leq 26 \).

Số nghiệm của phương trình này là số tổ hợp chập 2 của 27:
\[
\sum_{k=0}^{26} \binom{k+2}{2} = \binom{29}{2} = 406
\]

Xác suất là:
\[
\frac{406}{27000}
\]

### Phần 4: Hình chóp

1. Góc giữa mặt phẳng \( (SBC) \) và mặt phẳng \( (ABC) \).

Do \( SA \perp (ABC) \), góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa \( SA \) và \( (SBC) \).

Tam giác \( SBC \) đều cạnh 4, chiều cao từ \( S \) đến \( (ABC) \) là 3, nên góc giữa hai mặt phẳng là:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{SA}{\text{đường cao tam giác đều SBC}}\right) = \arctan\left(\frac{3}{2\sqrt{3}}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]

2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T = \frac{4}{SM^2} + \frac{9}{SN^2} + \frac{16}{SP^2} \).

Điểm \( I \) xác định bởi \( 2IA + 3IB + 4IC = 0 \).

Trung điểm của \( SI \) là \( I' \).

Tìm giá trị nhỏ nhất của \( T \).

Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi \( SM = SN = SP \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( T \) là:
\[
T = \frac{4}{d^2} + \frac{9}{d^2} + \frac{16}{d^2} = \frac{29}{d^2}
\]

Với \( d \) là khoảng cách từ \( S \) đến \( I' \).

Để tìm \( d \), ta cần tính toán cụ thể hơn, nhưng giá trị nhỏ nhất của \( T \) sẽ là một hằng số cụ thể khi \( SM = SN = SP \).

Hy vọng giải thích này giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bài toán này.