Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tổng của dãy số: \( \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \ldots + \frac{1}{2560} \).

Nhận thấy rằng các mẫu số của các phân số này đều là bội của 5, chúng ta có thể viết lại dãy số này dưới dạng:

\[ \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \ldots + \frac{1}{2560} \]

Chúng ta có thể viết lại các mẫu số dưới dạng \( 5 \times 2^n \), với \( n \) là các số nguyên không âm. Cụ thể:

\[ \frac{1}{5} = \frac{1}{5 \times 2^0} \]
\[ \frac{1}{10} = \frac{1}{5 \times 2^1} \]
\[ \frac{1}{20} = \frac{1}{5 \times 2^2} \]
\[ \ldots \]
\[ \frac{1}{2560} = \frac{1}{5 \times 2^8} \]

Vì vậy, tổng của dãy số này có thể viết lại như sau:

\[ \sum_{n=0}^{8} \frac{1}{5 \times 2^n} \]

Chúng ta có thể tách hằng số \( \frac{1}{5} \) ra khỏi tổng:

\[ \frac{1}{5} \sum_{n=0}^{8} \frac{1}{2^n} \]

Bây giờ, chúng ta cần tính tổng của dãy số hình học \( \sum_{n=0}^{8} \frac{1}{2^n} \). Đây là tổng của một dãy số hình học với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( r = \frac{1}{2} \).

Tổng của dãy số hình học hữu hạn có thể được tính bằng công thức:

\[ S = a \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r} \]

Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( r = \frac{1}{2} \), và \( n = 8 \):

\[ S = 1 \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{9}}{1 - \frac{1}{2}} \]
\[ S = \frac{1 - \frac{1}{512}}{\frac{1}{2}} \]
\[ S = \frac{512 - 1}{512} \times 2 \]
\[ S = \frac{511}{512} \times 2 \]
\[ S = \frac{1022}{512} \]
\[ S = \frac{511}{256} \]

Vậy tổng của dãy số ban đầu là:

\[ \frac{1}{5} \times \frac{511}{256} = \frac{511}{1280} \]

Do đó, tổng của dãy số \( \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \ldots + \frac{1}{2560} \) là \( \frac{511}{1280} \).