Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

**a) Tính diện tích tam giác AMD**

1. **Xác định các thông số của hình chữ nhật ABCD:**
- Gọi chiều dài AB là \(a\) và chiều rộng AD là \(b\).
- Diện tích của hình chữ nhật ABCD là \(a \times b = 240 \, \text{cm}^2\).

2. **Xác định vị trí điểm M:**
- AM = \(\frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} a\).

3. **Tính diện tích tam giác AMD:**
- Tam giác AMD có đáy là AM và chiều cao là AD.
- Diện tích tam giác AMD là:
\[
S_{AMD} = \frac{1}{2} \times AM \times AD = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} a \times b = \frac{1}{6} a \times b = \frac{1}{6} \times 240 = 40 \, \text{cm}^2.
\]

**b) Chứng minh hai tam giác AMD và EMB có diện tích bằng nhau**

1. **Xác định vị trí điểm E:**
- Nối CM cắt DA tại E.

2. **Chứng minh diện tích tam giác EMB bằng diện tích tam giác AMD:**
- Xét tam giác ABC, điểm M chia AB thành hai đoạn AM và MB với tỉ lệ \(\frac{AM}{MB} = \frac{1}{2}\).
- Do đó, M là trung điểm của AB trong tam giác ABC.
- Đường thẳng CM chia tam giác ABC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau: \(\triangle ACM\) và \(\triangle BCM\).

3. **Sử dụng tính chất đường trung tuyến:**
- Đường thẳng CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, do đó nó chia tam giác ABC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
- Điểm E là giao điểm của CM và DA, do đó tam giác ADE và tam giác CDE có diện tích bằng nhau.

4. **Sử dụng tính chất diện tích:**
- Diện tích tam giác ADE bằng diện tích tam giác CDE.
- Diện tích tam giác AMD bằng diện tích tam giác EMB vì chúng có cùng chiều cao từ điểm D và đáy AM bằng MB.

Do đó, diện tích tam giác AMD bằng diện tích tam giác EMB.

Kết luận:
- Diện tích tam giác AMD là \(40 \, \text{cm}^2\).
- Diện tích tam giác AMD và EMB bằng nhau.