Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a:
1. **Tính số giấy vụn lớp 5A thu được:**
Lớp 5A thu được bằng \( \frac{1}{6} \) số giấy vụn của cả bốn lớp.
\[
\text{Số giấy vụn lớp 5A thu được} = \frac{1}{6} \times 240 = 40 \text{ kg}
\]

2. **Tính số giấy vụn lớp 5B thu được:**
Lớp 5A thu được bằng \( \frac{2}{3} \) số giấy vụn của lớp 5B.
\[
\text{Số giấy vụn lớp 5B thu được} = \frac{3}{2} \times 40 = 60 \text{ kg}
\]

Vậy lớp 5A thu được 40 kg giấy vụn và lớp 5B thu được 60 kg giấy vụn.

### Phần b:
1. **Tính số giấy vụn của lớp 5C và 5D trước khi thu thêm:**
Tổng số giấy vụn của cả bốn lớp là 240 kg.
\[
\text{Số giấy vụn của lớp 5C và 5D} = 240 - (40 + 60) = 140 \text{ kg}
\]

2. **Giả sử số giấy vụn của lớp 5C là \( x \) kg và lớp 5D là \( y \) kg:**
\[
x + y = 140
\]

3. **Nếu mỗi lớp 5C và 5D cùng thu thêm 10 kg giấy vụn:**
Số giấy vụn của lớp 5C sau khi thu thêm là \( x + 10 \) kg.
Số giấy vụn của lớp 5D sau khi thu thêm là \( y + 10 \) kg.
Theo đề bài, số giấy vụn của lớp 5C sau khi thu thêm bằng \( \frac{3}{5} \) số giấy vụn của lớp 5D sau khi thu thêm:
\[
x + 10 = \frac{3}{5}(y + 10)
\]

4. **Giải hệ phương trình:**
\[
x + y = 140
\]
\[
x + 10 = \frac{3}{5}(y + 10)
\]

Đầu tiên, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 5 để loại bỏ mẫu số:
\[
5(x + 10) = 3(y + 10)
\]
\[
5x + 50 = 3y + 30
\]
\[
5x - 3y = -20
\]

Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình:
\[
x + y = 140
\]
\[
5x - 3y = -20
\]

Giải phương trình thứ nhất cho \( y \):
\[
y = 140 - x
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5x - 3(140 - x) = -20
\]
\[
5x - 420 + 3x = -20
\]
\[
8x = 400
\]
\[
x = 50
\]

Thay \( x = 50 \) vào phương trình \( y = 140 - x \):
\[
y = 140 - 50 = 90
\]

Vậy lớp 5C thu được 50 kg giấy vụn và lớp 5D thu được 90 kg giấy vụn.