### Bài 14:
Cho tam giác DEF cân tại D. Trên cạnh DE và DF lần lượt lấy hai điểm H và K sao cho DH = DK. Gọi giao điểm của EK và FH là O. Chứng minh rằng:
a) EK = FH
b) ΔΗΟΕ = ΔΚΟF
c) DO vuông góc với EF

**Giải:**

a) **Chứng minh EK = FH:**

- Vì tam giác DEF cân tại D nên DE = DF.
- Do DH = DK và H, K lần lượt nằm trên DE và DF, nên tam giác DHK là tam giác cân tại D.
- Xét tam giác DHK, ta có DH = DK và góc D là góc chung, nên ΔDHK cân tại D.
- Do đó, EK và FH là các đường trung tuyến của tam giác DHK, mà trong tam giác cân, các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau.
- Vậy EK = FH.

b) **Chứng minh ΔΗΟΕ = ΔΚΟF:**

- Xét ΔDHE và ΔDKF:
- DH = DK (giả thiết)
- DE = DF (tam giác DEF cân tại D)
- Góc EHD = góc FDK (vì tam giác DEF cân tại D)
- Do đó, ΔDHE = ΔDKF (cạnh-góc-cạnh).
- Vì EK và FH là các đường trung tuyến tương ứng của ΔDHE và ΔDKF, nên chúng cắt nhau tại điểm O.
- Do đó, ΔΗΟΕ = ΔΚΟF (cạnh-góc-cạnh).

c) **Chứng minh DO vuông góc với EF:**

- Vì tam giác DEF cân tại D, nên đường trung tuyến từ D cũng là đường cao.
- Do đó, DO vuông góc với EF.

### Bài 15:
Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC, đường cao AD. Trên đoạn DC lấy điểm E sao cho DB = DE.
a) Chứng minh tam giác ABE cân
b) Từ E kẻ EF vuông góc với AC (F thuộc AC). Từ C kẻ CK vuông góc với AE (K thuộc AE). Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, EF và CK đồng quy tại một điểm.

**Giải:**

a) **Chứng minh tam giác ABE cân:**

- Xét tam giác ABD và tam giác ADE:
- AD là đường cao chung.
- DB = DE (giả thiết).
- Do đó, ΔABD = ΔADE (cạnh-góc-cạnh).
- Suy ra, AB = AE.
- Vậy tam giác ABE cân tại A.

b) **Chứng minh ba đường thẳng AD, EF và CK đồng quy tại một điểm:**

- Gọi H là giao điểm của AD và EF.
- Vì EF vuông góc với AC tại F, nên H là trực tâm của tam giác AEC.
- Từ C kẻ CK vuông góc với AE, nên K là chân đường cao từ C xuống AE.
- Do đó, ba đường thẳng AD, EF và CK đồng quy tại trực tâm H của tam giác AEC.

### Bài 16:
Cho tam giác đều DEF. Tia phân giác của góc E cắt cạnh DF tại M. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt tia EM tại N và cắt tia EF tại P. Chứng minh rằng:
a) ΔDNF cân
b) NF vuông góc với EF
c) ΔDEP cân.

**Giải:**

a) **Chứng minh ΔDNF cân:**

- Vì tam giác DEF đều, nên các góc của tam giác đều bằng 60 độ.
- Tia phân giác của góc E cắt cạnh DF tại M, nên EM là đường phân giác của góc DEF.
- Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DE, cắt tia EM tại N và cắt tia EF tại P.
- Vì tam giác DEF đều, nên DN = DF.
- Do đó, ΔDNF cân tại D.

b) **Chứng minh NF vuông góc với EF:**

- Vì tam giác DEF đều, nên các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
- Đường thẳng qua D vuông góc với DE cắt tia EF tại P, nên DP vuông góc với DE.
- Do đó, NF vuông góc với EF.

c) **Chứng minh ΔDEP cân:**

- Vì tam giác DEF đều, nên DE = DF.
- Đường thẳng qua D vuông góc với DE cắt tia EF tại P, nên DP vuông góc với DE.
- Do đó, ΔDEP cân tại D.

### Bài 17:
Cho tam giác DEF cân tại D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DF và DE. Kẻ DH vuông góc với EF.

**Giải:**

- Vì tam giác DEF cân tại D, nên DE = DF.
- Gọi M và N lần lượt là trung điểm của DF và DE, nên DM = DF/2 và DN = DE/2.
- Kẻ DH vuông góc với EF, nên DH là đường cao của tam giác DEF.
- Do đó, DH cũng là đường trung trực của EF.
- Vì M và N là trung điểm của DF và DE, nên DM = DN.
- Do đó, tam giác DMN cân tại D.