Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x = 1; y = 1 - t  z = 2 + t. Mặt phẳng O và chứa d có phương trình

Để tìm phương trình của mặt phẳng \( \alpha \) đi qua gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \) và chứa đường thẳng \( d \) có phương trình tham số:
\[ x = 1, \; y = 1 - t, \; z = 2 + t, \]
chúng ta cần tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \alpha \).

1. **Tìm một điểm thuộc đường thẳng \( d \):**
Khi \( t = 0 \), ta có điểm \( A(1, 1, 2) \) thuộc đường thẳng \( d \).

2. **Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \):**
Từ phương trình tham số của \( d \), ta thấy vectơ chỉ phương của \( d \) là:
\[ \vec{u} = (0, -1, 1). \]

3. **Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \alpha \):**
Mặt phẳng \( \alpha \) đi qua gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \) và chứa đường thẳng \( d \), do đó mặt phẳng này phải chứa cả vectơ \( \overrightarrow{OA} \) và vectơ chỉ phương \( \vec{u} \).

Vectơ \( \overrightarrow{OA} \) là:
\[ \overrightarrow{OA} = (1, 1, 2). \]

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \alpha \) là tích có hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{OA} \) và \( \vec{u} \):
\[ \vec{n} = \overrightarrow{OA} \times \vec{u} = (1, 1, 2) \times (0, -1, 1). \]

Tính tích có hướng:
\[
\vec{n} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & 2 \\
0 & -1 & 1
\end{vmatrix}
= \vec{i}(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 0)
= \vec{i}(1 + 2) - \vec{j}(1) + \vec{k}(-1)
= 3\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}.
\]

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \alpha \) là \( \vec{n} = (3, -1, -1) \).

4. **Phương trình của mặt phẳng \( \alpha \):**
Mặt phẳng \( \alpha \) đi qua điểm \( O(0, 0, 0) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (3, -1, -1) \), nên phương trình của mặt phẳng \( \alpha \) là:
\[ 3x - y - z = 0. \]

Vậy phương trình của mặt phẳng \( \alpha \) là:
\[ 3x - y - z = 0. \]