Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x = 1; y = 1 - t z = 2 + t. Mặt phẳng O và chứa d có phương trình Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x = 1; y = 1 - t z = 2 + t. Mặt phẳng O và chứa d có phương trình
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để tìm phương trình của mặt phẳng \( \alpha \) đi qua gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \) và chứa đường thẳng \( d \) có phương trình tham số: \[ x = 1, \; y = 1 - t, \; z = 2 + t, \] chúng ta cần tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \alpha \). 1. **Tìm một điểm thuộc đường thẳng \( d \):** Khi \( t = 0 \), ta có điểm \( A(1, 1, 2) \) thuộc đường thẳng \( d \). 2. **Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \( d \):** Từ phương trình tham số của \( d \), ta thấy vectơ chỉ phương của \( d \) là: \[ \vec{u} = (0, -1, 1). \] 3. **Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \alpha \):** Mặt phẳng \( \alpha \) đi qua gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \) và chứa đường thẳng \( d \), do đó mặt phẳng này phải chứa cả vectơ \( \overrightarrow{OA} \) và vectơ chỉ phương \( \vec{u} \). Vectơ \( \overrightarrow{OA} \) là: \[ \overrightarrow{OA} = (1, 1, 2). \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \alpha \) là tích có hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{OA} \) và \( \vec{u} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{OA} \times \vec{u} = (1, 1, 2) \times (0, -1, 1). \] Tính tích có hướng: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) = \vec{i}(1 + 2) - \vec{j}(1) + \vec{k}(-1) = 3\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}. \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( \alpha \) là \( \vec{n} = (3, -1, -1) \). 4. **Phương trình của mặt phẳng \( \alpha \):** Mặt phẳng \( \alpha \) đi qua điểm \( O(0, 0, 0) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (3, -1, -1) \), nên phương trình của mặt phẳng \( \alpha \) là: \[ 3x - y - z = 0. \] Vậy phương trình của mặt phẳng \( \alpha \) là: \[ 3x - y - z = 0. \]