a) Để vẽ hai đường thẳng \( y = x - 2 \) và \( y = -x \) trên cùng một mặt phẳng tọa độ, ta cần xác định một vài điểm trên mỗi đường thẳng và sau đó nối các điểm này lại.

- Đường thẳng \( y = x - 2 \):
- Khi \( x = 0 \), \( y = -2 \) (điểm \( (0, -2) \)).
- Khi \( x = 2 \), \( y = 0 \) (điểm \( (2, 0) \)).

- Đường thẳng \( y = -x \):
- Khi \( x = 0 \), \( y = 0 \) (điểm \( (0, 0) \)).
- Khi \( x = 2 \), \( y = -2 \) (điểm \( (2, -2) \)).

Vẽ các điểm này trên mặt phẳng tọa độ và nối lại, ta sẽ có hai đường thẳng.

b) Để tìm giao điểm \( M \) của hai đường thẳng \( y = x - 2 \) và \( y = -x \), ta giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = x - 2 \\
y = -x
\end{cases}
\]

Thay \( y = -x \) vào phương trình \( y = x - 2 \):
\[
-x = x - 2 \\
2x = 2 \\
x = 1
\]

Thay \( x = 1 \) vào \( y = -x \):
\[
y = -1
\]

Vậy giao điểm \( M \) có tọa độ \( (1, -1) \).

c) Gọi \( N \) là giao điểm của đường thẳng \( y = x - 2 \) và trục \( Ox \). Trục \( Ox \) có phương trình \( y = 0 \), do đó ta giải phương trình:
\[
x - 2 = 0 \\
x = 2
\]

Vậy \( N \) có tọa độ \( (2, 0) \).

Ta có các điểm \( O(0, 0) \), \( M(1, -1) \), \( N(2, 0) \). Để chứng minh tam giác \( OMN \) vuông tại \( M \), ta kiểm tra tích vô hướng của hai vector \( \overrightarrow{OM} \) và \( \overrightarrow{MN} \):

\[
\overrightarrow{OM} = (1 - 0, -1 - 0) = (1, -1)
\]
\[
\overrightarrow{MN} = (2 - 1, 0 - (-1)) = (1, 1)
\]

Tích vô hướng của \( \overrightarrow{OM} \) và \( \overrightarrow{MN} \):
\[
\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{MN} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 = 0
\]

Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vector vuông góc với nhau, do đó tam giác \( OMN \) vuông tại \( M \).

Từ đó suy ra hai đường thẳng \( y = x - 2 \) và \( y = -x \) vuông góc với nhau.

d) Nhận xét về tích hai hệ số góc của hai đường thẳng đã cho:

- Đường thẳng \( y = x - 2 \) có hệ số góc là \( 1 \).
- Đường thẳng \( y = -x \) có hệ số góc là \( -1 \).

Tích hai hệ số góc:
\[
1 \cdot (-1) = -1
\]

Nhận xét: Tích hai hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng \( -1 \).