Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần một.

**a) Chứng minh: \(\triangle DBAH = \triangle DACB\) và \(\triangle ADE\) cân.**

1. **Chứng minh \(\triangle DBAH = \triangle DACB\):**

- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(AB = AC\), do đó tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\).
- Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\).
- Tia phân giác của góc \(CAH\) cắt cạnh \(BC\) tại \(E\).
- Đường thẳng qua \(E\) vuông góc với \(BC\) cắt \(AC\) tại \(D\).

Xét hai tam giác \(DBA\) và \(DAC\):
- \(AB = AC\) (giả thiết).
- \(\angle DBA = \angle DAC\) (cùng bằng \(\angle BAC\)).
- \(AD\) là cạnh chung.

Do đó, \(\triangle DBA = \triangle DAC\) (c.g.c).

Từ đó, ta có \(\triangle DBAH = \triangle DACB\).

2. **Chứng minh \(\triangle ADE\) cân:**

- Vì \(E\) nằm trên tia phân giác của góc \(CAH\), nên \(\angle CAE = \angle HAE\).
- Đường thẳng qua \(E\) vuông góc với \(BC\) cắt \(AC\) tại \(D\), do đó \(DE\) vuông góc với \(BC\).

Xét tam giác \(ADE\):
- \(\angle ADE = \angle AED\) (do \(E\) nằm trên tia phân giác của góc \(CAH\)).

Do đó, tam giác \(ADE\) cân tại \(D\).

**b) Chứng minh: Tia \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\) và \(BD\) là đường trung trực của \(AE\).**

1. **Chứng minh tia \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\):**

- Từ phần a, ta có \(\triangle DBA = \triangle DAC\).
- Do đó, \(\angle ABD = \angle CBD\).

Vậy, tia \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\).

2. **Chứng minh \(BD\) là đường trung trực của \(AE\):**

- Từ phần a, ta có \(\triangle ADE\) cân tại \(D\).
- Do đó, \(AD = DE\).

Vì \(D\) nằm trên đường trung trực của \(AE\), nên \(BD\) là đường trung trực của \(AE\).

**c) Chứng minh: \(BC = 2BH\).**

- Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), do đó \(AB = AC\).
- Đường cao \(AH\) chia \(BC\) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \(BH = HC\).

Vì \(AB = AC\), nên \(BC = 2BH\).

**d) Chứng minh: \(EI \parallel AC\).**

- Từ phần b, ta có \(BD\) là đường trung trực của \(AE\).
- Do đó, \(E\) là trung điểm của \(AE\).

Vì \(E\) là trung điểm của \(AE\) và \(BD\) vuông góc với \(BC\), nên \(EI \parallel AC\).

**e) Khi tam giác \(ADI\) cân tại \(D\), tính số đo các góc của tam giác \(ABC\).**

- Giả sử tam giác \(ADI\) cân tại \(D\), tức là \(AD = DI\).
- Từ phần a, ta có \(\triangle ADE\) cân tại \(D\), do đó \(\angle ADE = \angle AED\).

Vì tam giác \(ADI\) cân tại \(D\), nên \(\angle ADI = \angle AID\).

Do đó, tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), với các góc \(\angle BAC = 45^\circ\), \(\angle ABC = 45^\circ\), và \(\angle BCA = 90^\circ\).

**Chứng minh: \(AH = BC\); \(AB = AC\).**

- Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), do đó \(AB = AC\).
- Đường cao \(AH\) trong tam giác vuông cân tại \(A\) có độ dài bằng cạnh huyền chia đôi, tức là \(AH = \frac{BC}{2}\).

Vì \(BC = 2BH\) và \(BH = \frac{BC}{2}\), nên \(AH = BC\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.