Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách cẩn thận. Biểu thức ban đầu của bạn có vẻ phức tạp, vì vậy chúng ta sẽ tách nó ra và xử lý từng phần.

Biểu thức ban đầu:
\[
\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times \sqrt{3} - \frac{1}{3 - \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} - 1} - \frac{2}{\sqrt{3} + 1}
\]

### Bước 1: Rút gọn từng phần

**Phần 1:**
\[
\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times \sqrt{3}
\]
Rút gọn:
\[
\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}
\]
\[
= \frac{\sqrt{3} - 3}{2}
\]

**Phần 2:**
\[
\frac{1}{3 - \sqrt{3}}
\]
Rút gọn bằng cách nhân cả tử và mẫu với \(3 + \sqrt{3}\):
\[
\frac{1 \times (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) \times (3 + \sqrt{3})}
\]
\[
= \frac{3 + \sqrt{3}}{9 - 3}
\]
\[
= \frac{3 + \sqrt{3}}{6}
\]
\[
= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6}
\]

**Phần 3:**
\[
\frac{1}{\sqrt{3} - 1}
\]
Rút gọn bằng cách nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3} + 1\):
\[
\frac{1 \times (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) \times (\sqrt{3} + 1)}
\]
\[
= \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1}
\]
\[
= \frac{\sqrt{3} + 1}{2}
\]

**Phần 4:**
\[
\frac{2}{\sqrt{3} + 1}
\]
Rút gọn bằng cách nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3} - 1\):
\[
\frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) \times (\sqrt{3} - 1)}
\]
\[
= \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}
\]
\[
= \frac{2\sqrt{3} - 2}{2}
\]
\[
= \sqrt{3} - 1
\]

### Bước 2: Kết hợp các phần đã rút gọn

Bây giờ chúng ta sẽ kết hợp tất cả các phần đã rút gọn lại:
\[
\frac{\sqrt{3} - 3}{2} - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6}\right) + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} - (\sqrt{3} - 1)
\]

### Bước 3: Đưa về mẫu số chung và rút gọn

Đưa tất cả các phân số về mẫu số chung là 6:
\[
\frac{3(\sqrt{3} - 3)}{6} - \left(\frac{3}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6}\right) + \frac{3(\sqrt{3} + 1)}{6} - \frac{6(\sqrt{3} - 1)}{6}
\]

Kết hợp lại:
\[
\frac{3\sqrt{3} - 9 - 3 - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3 - 6\sqrt{3} + 6}{6}
\]

Rút gọn:
\[
\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 9 - 3 + 3 + 6}{6}
\]
\[
= \frac{(3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} - 6\sqrt{3}) + (-9 - 3 + 3 + 6)}{6}
\]
\[
= \frac{(6\sqrt{3} - \sqrt{3} - 6\sqrt{3}) + (-9 - 3 + 3 + 6)}{6}
\]
\[
= \frac{-\sqrt{3} - 3}{6}
\]

### Kết quả cuối cùng:
\[
= -\frac{\sqrt{3} + 3}{6}
\]

Vậy biểu thức đã rút gọn là:
\[
-\frac{\sqrt{3} + 3}{6}
\]